2.4.3非周期信号的数学阐述—傅里叶分析

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傅里叶是这样看待非周期信号的，他认为一个非周期信号可以看作周期无限长的周期信号，正是这种颇具有哲学意味的观点填平了周期信号与非周期信号之间的鸿沟，从而拉开了傅里叶分析的序幕。

下面我们就试着用傅里叶级数的观点来对非周期信号进行探讨：首先回到式（2.6），当周期T增加时，基波频率2π/T就减小，所以成谐波关系的各分量在频率上就越靠近。当周期变成无穷大时，这些频率分量之间就变得无限小，从而组成一个连续域，傅里叶级数的求和就变成了进行积分。

出于篇幅和内容的考虑，我们仅对傅里叶分析给出感性的认识，具体的数学证明过程，请参见本书参考文献1的第3章。

傅里叶分析的数学表达式为：

式（2.8)与式（2.9)称为傅里叶变换对，函数X（jw）称为x（t）的傅里叶变换或傅里 叶积分，式（2.8)称为傅里叶反变换。请分别比对式（2.6)与式（2.8)、式（2.7)与 (2.9)的异同。

无论是傅里叶级数也好，傅里叶变换也罢，价值之一在于给我们提供了一个分析信号的工具，结合系统的一些特性，可以得出很多有用的结论。价值之二在于给了我们一个看待信号的全新的视角，我们以前都是从时域的角度来看待信号，把信号理解为时间上电平高高低低的连续变化，它是一个二维的坐标体系，两个维度分别是时间和电平值；现在我们可以从频域的角度上来理解信号，把信号理解为不同频谱的复指数信号的叠加，也就是基波分量和谐波分量的叠加，不同频率的谐波分量有着不同的权重系数，这也是一个二维的坐标体系，两个维度分别是频率和权重系数。

很多人对于时域到频域的转换难以理解，其实就是无法理解这两个坐标系的转变，我们不妨举一个简单的例子做一下说明，体会一下“时域一频域”坐标系是怎么变化的。乔丹是篮球之神，他打篮球动作频率很快，这一秒可以做4个动作，下一秒可以做3个动作， 下下秒可以做5个动作，下下下秒……我们首先看看这一句话如何用时域坐标系表示，如图2.21所示。

作为一个普通的观众，我们通常是从时域的观点来欣赏迈克尔•乔丹，看看他这秒干了什么，下一秒又做了哪些精彩的动作。

可是偏偏还有这么一群人，他们目光深邃，表情冷峻，他们对篮球场上那些华丽的诗章毫无兴趣，他们根本就不用时域的观点来欣赏迈克尔，他们用频域！！！这些人是干嘛的呢，他们是球队的技术分析，他们统计迈克尔每秒都做了多少动作，用频域的观点来分析迈克尔能给球队带来多少胜利。这群人毫无疑问是欧拉和傅里叶的崇拜者，估计对伯努利和拉普拉斯也是仰慕有加，要不你没法解释他们为什么要这么做，我们来看看这群人是怎么来分析迈克尔•乔丹的（如图2.22所示）。

傅里叶级数实现从时域到频域的变换也类似于此，迈克尔一场比赛打的时间的长短 只是影响各个动作频率在图2.22中的权重而已。信号在时域上的不断延伸只不过是改变各个谐波分量的权重值而已，频域上不需要时间这个维度，时间上的变化在这里转换成了权重上的变化。