2.4.2周期信号的数学表达一傅里叶级数

爱卫生

刚才我们说了在满足狄里赫利条件下，周期信号可以用成谐波关系的正弦函数来表示。我们知道，如果一个信号是周期的，那么对于一切t，存在某个正值得T，即

x(t)=x(t+T)  （式2.1）

现在我们来考虑周期复指数信号（因为它在信号与系统中应用最广泛），即

我们很容易看出复指数信号是周期的，而且其基波频率为叫W0，基波周期为T=2π/W0。那么与它成谐波关系的信号的频率就应该是它的k倍。可以得出式（2.2）中的复指数信号的一个成谐波关系的信号的集合，如下表示：

这些信号都有一个基波频率，它是W0的倍数。因此每一个信号对周期T来说都是周期的。于是，由傅里叶的推论和狄里赫利的证明，可以得出一个由成谐波关系的复指数线性组合形成的信号，如下表示：

在上式中，a（下标k）就是欧拉所说的加权系数，e（上标jkw0t）就是欧拉所说的谐波信号。K=0这一项就是一个常数，k=K+1和k=-1这两项都有基波频率等于叫W0，两者合在一起称为基波分量或一次谐波分量。k=k+2和k=-2这两项也是周期的，其周期是基波分量周期的1/2，频率是基波频率的两倍，称为二次谐波分量。一般来说，k=+N和k=-N的分量称为第N次谐波分量。一个周期信号表示为成式（2.4）的形式，称为傅里叶级数。

我们在这里举一个例子来说明傅里叶级数到底有什么用途（如图2.20所示）。

例2.1 假设有一个周期信号其基波频率为2m只要其满足狄里赫利条件， 我们就可以把这个周期信号写成式2.4的形式，则为：

其中a0=1，a1=a（下标-1）=1/2，a2=a（下标-2）=1/3，a3=（下标-3）=1/4。

我们将式（2.5)中具有同一基波频率的谐波分量合在一起以便于计算，得到下式：

我们在本例中演示了一个周期信号是如何分解为基波信号和谐波信号之和的。试想一下，符合狄里赫利条件的周期信号都可以这样分解为一个个正弦信号的和，正弦信号又是我们非常熟悉的，那应付起来岂不是如庖丁解牛。话说正弦信号之和虽然有这么多项不是那么好处理，总比两眼一抹黑地去对付一个啥性质也不知道的周期信号要好吧。

所以说傅里叶级数其伟大的地方就在于，把一个看上去没什么规律的周期信号给规律化了（从数学上理解为基波信号和谐波信号的叠加），这样一来我们总算有了对付周期信号的数学工具。

且慢！！想必聪明的朋友已经发现了，我们在例2.1里回避了一个问题，那就是这些谐波在整个信号中所占的分量，也就是加权系数到底是怎么得来的呢？

虽说我们现在已经知道了任意一个符合狄里赫利条件的周期信号都可以表述为

的形式，但是如果不告诉我a（下标k）怎么得来的那还是白说，我还是没有办法将一个周期信号分解为不同的谐波分量啊。你不能光给世界观，不给方法论啊。

求这个系数的方法是有的，但是其数学证明却相当复杂，所以在这里我们略去证明过程，仅仅给出结论。希望对完整的证明过程有所了解的读者请参见参考文献1的第3 章的有关内容。假设为符合狄里赫利条件的周期信号，那么要将其分解为式（2.5) 的形式，其系数的求法如下所示：

式（2.6）称为综合公式，式（2.7）称为分析公式。系数a（下标k）往往称为x（t）的傅里叶级数系数或x（t）的频谱系数。这些复数系数是对信号x（t）中的每—个谐波分量的大小作出的量度。系数a0就是x（t）的直流或常数分量。

（提示：我们在上面研究了周期信号的傅里叶表达方式，但是这对研究信号是不够的，因为很多信号是非周期的，比如本节开始图2.18所示的信号就不是周期的。本书中要研究的大多数信号，比如语音信号，也是非周期的。我们面对非周期信号是不是也有什么有效的方法来进行数学处理呢？或许有人要摩拳擦掌试图干出点什么，但是很不幸，这个问题也被傅里叶解决了，就是我们接下来要讨论的傅里叶分析。）