2.4.1傅里叶级数与傅里叶分析的由来

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欧拉继续分析下去，发现所有的振荡模式都是x的正弦函数，并成谐波关系。欧拉得出的结论是：如果某一时刻振动弦的形状是其谐波的组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状也都是这些振荡谐波的组合。

欧拉的结论很深奥，咱们用一句通俗的话说，那就是在绳子上滚动的信号，总可以表示为图2.20所示的一堆正弦波的叠加，至于每个正弦波所占的比重也就是系数咱另说。正弦函数和余弦函数也统称三角函数，在信号与系统中，往往习惯叫三角函数。

1753年，伯努利声称一根弦的实际运动都可以用振荡谐波的线性组合来表示。

1759年，拉格朗日提出了反对意见，他批评了使用三角级数来研究振动弦的主张，认为这个没多大用处。因为实际的信号往往有中断点的，不像绳子一样从头到尾都是完整的。那么有间断点的信号就像一根断了的绳子，你还能用三角级数来分析吗？

这时候轮到我们的主人公傅里叶登场了。1807年，傅里叶在进行热力学研究的时候发现，表示一个物体温度分布的时候，成谐波关系的正弦函数级数是非常有用的。这时候他提出了一个大胆的猜想：“任何”周期信号都可以用成谐波关系的正弦函数级数来表示？ ！

这个论述非常有意义，因为它适用范围非常广。傅里叶本人并没有给出详细的数学论证，这个命题后来是由狄里赫利给出完整的证明：在一定的条件下，周期信号可以用成谐波关系的正弦函数级数来表示。

另外，傅里叶还给出了非周期信号的表达方式：不是成谐波关系的正弦信号的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权积分。